Упр.49.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдём точки пересечения графиков $$y=e^x$$ и $$y=e^{-x}$$:

$$e^x=e^{-x}$$
$$x=-x$$
$$x=0.$$

На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$e^x\ge e^{-x}$$, поэтому

$$S=\int_0^1\left(e^x-e^{-x}\right)\,dx =\left(e^x+e^{-x}\right)\Big|_0^1 =(e+\tfrac1e)-(1+1) =e+\frac1e-2 =\frac{(e-1)^2}{e}.$$

Ответ: $$\frac{(e-1)^2}{e}$$.

б) Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac1{e^x}$$ и $$y=1$$:

$$\frac1{e^x}=1$$
$$e^x=1$$
$$x=0.$$

На отрезке $$[-1;0]$$ имеем $$\frac1{e^x}\ge 1$$, значит

$$S=\int_{-1}^0\left(\frac1{e^x}-1\right)\,dx =\int_{-1}^0\left(e^{-x}-1\right)\,dx =\left(-e^{-x}-x\right)\Big|_{-1}^0 =e-2.$$

Ответ: $$e-2$$.

в) Прямая $$x+2y=2$$ задаётся уравнением

$$y=1-\frac{x}{2}.$$

Точки пересечения с графиком $$y=e^x$$ и прямой $$x=2$$ дают границы фигуры. На отрезке $$[0;2]$$ имеем $$e^x\ge 1-\frac{x}{2}$$, поэтому

$$S=\int_0^2\left(e^x-\left(1-\frac{x}{2}\right)\right)\,dx =\int_0^2\left(e^x-1+\frac{x}{2}\right)\,dx.$$

$$S=\left(e^x-x+\frac{x^2}{4}\right)\Big|_0^2 =(e^2-2+1)-1 =e^2-2.$$

Ответ: $$e^2-2$$.

г) Графики $$y=e^x$$ и $$y=-e^x$$ не пересекаются, а фигура ограничена прямыми $$x=0$$ и $$x=2$$. Тогда

$$S=\int_0^2\left(e^x-(-e^x)\right)\,dx =\int_0^2 2e^x\,dx =2e^x\Big|_0^2 =2(e^2-1).$$

Ответ: $$2(e^2-1)$$.