Упр.49.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите площадь фигуры, изображённой на: а) рис. 70; б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73.

Площадь фигуры находим как площадь криволинейной трапеции, то есть по формуле $$S=\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx.$$

а)

Фигура ограничена линиями $$y=x^3,\quad y=8,\quad x=0,\quad x=2.$$

На отрезке $$[0;2]$$ имеем $$x^3\le 8,$$ значит

$$S=\int_0^2 (8-x^3)\,dx=\left(8x-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^2.$$

$$S=\left(16-\frac{16}{4}\right)-0=16-4=12.$$

б)

Фигура ограничена линиями $$y=\sin x,\quad y=1,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{2}.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$\sin x\le 1,$$ поэтому

$$S=\int_0^{\pi/2} (1-\sin x)\,dx=\left(x+\cos x\right)\Bigg|_0^{\pi/2}.$$

$$S=\left(\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{2}\right)-\left(0+\cos 0\right)=\frac{\pi}{2}-1.$$

в)

Фигура ограничена линиями $$y=x^2,\quad y=4,\quad x=-2,\quad x=2.$$

На отрезке $$[-2;2]$$ имеем $$x^2\le 4,$$ значит

$$S=\int_{-2}^{2} (4-x^2)\,dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2}.$$

$$S=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}.$$

г)

Фигура ограничена линиями $$y=\sin x,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=\pi.$$

Так как на отрезке $$[0;\pi]$$ функция $$\sin x\ge 0,$$ то

$$S=\int_0^\pi \sin x\,dx=-\cos x\Bigg|_0^\pi.$$

$$S=-\cos\pi+\cos 0=1+1=2.$$

Ответ: а) $$12$$; б) $$\frac{\pi}{2}-1$$; в) $$10\frac{2}{3}$$; г) $$2$$.