Упр.49.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём площадь как определённый интеграл от заданной функции на указанном промежутке.

1. $$y=\frac{1}{x},\quad y=0,\quad x=1,\quad x=e.$$

   На отрезке $$[1;e]$$ функция $$\frac{1}{x}$$ положительна, поэтому

   $$S=\int\limits_{1}^{e}\frac{dx}{x}=\ln|x|\Big|_{1}^{e}=\ln e-\ln 1=1-0=1.$$

   Ответ: $$1$$.

2. $$y=\frac{1}{2x+3},\quad y=0,\quad x=-1,\quad x=3.$$

   На отрезке $$[-1;3]$$ функция $$\frac{1}{2x+3}$$ положительна, значит

   $$S=\int\limits_{-1}^{3}\frac{dx}{2x+3}=\frac{1}{2}\ln|2x+3|\Big|_{-1}^{3}$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\ln 9-\ln 1\bigr)=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3.$$

   Ответ: $$\ln 3$$.

3. $$y=\frac{2}{x},\quad y=0,\quad x=e,\quad x=e^2.$$

   На отрезке $$[e;e^2]$$ функция $$\frac{2}{x}$$ положительна, поэтому

   $$S=\int\limits_{e}^{e^2}\frac{2\,dx}{x}=2\ln|x|\Big|_{e}^{e^2}=2\bigl(\ln e^2-\ln e\bigr)=2(2-1)=2.$$

   Ответ: $$2$$.

4. $$y=\frac{1}{3x-5},\quad y=0,\quad x=2,\quad x=5.$$

   На отрезке $$[2;5]$$ функция $$\frac{1}{3x-5}$$ положительна, значит

   $$S=\int\limits_{2}^{5}\frac{dx}{3x-5}=\frac{1}{3}\ln|3x-5|\Big|_{2}^{5}$$

   $$=\frac{1}{3}\bigl(\ln 10-\ln 1\bigr)=\frac{1}{3}\ln 10.$$

   Ответ: $$\frac{1}{3}\ln 10$$.