Упр.49.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) Найдём точки пересечения границ. При $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=0$$ получаем $$x=0$$. На отрезке $$[0;4]$$ функция $$\sqrt{x}\ge 0$$, значит площадь равна
$$S=\int\limits_0^4 \sqrt{x}\,dx=\int\limits_0^4 x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^4=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}.$$
б) На отрезке $$[1;3]$$ функция $$\frac{1}{x^2}>0$$, поэтому
$$S=\int\limits_1^3 \frac{1}{x^2}\,dx=\int\limits_1^3 x^{-2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_1^3=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}.$$
в) Точка пересечения графиков $$y=\sqrt[3]{x}$$ и $$y=1$$ находится из уравнения
$$\sqrt[3]{x}=1 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$
На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$1\ge \sqrt[3]{x}$$, значит
$$S=\int\limits_0^1 \left(1-\sqrt[3]{x}\right)\,dx =\int\limits_0^1 \left(1-x^{1/3}\right)\,dx =\left.x-\frac{3}{4}x^{4/3}\right|_0^1 =1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.$$
г) Точка пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=2$$ находится из уравнения
$$\sqrt{x}=2 \quad \Rightarrow \quad x=4.$$
На отрезке $$[0;4]$$ имеем $$2\ge \sqrt{x}$$, поэтому
$$S=\int\limits_0^4 \left(2-\sqrt{x}\right)\,dx =\int\limits_0^4 2\,dx-\int\limits_0^4 x^{1/2}\,dx =8-\frac{16}{3} =\frac{8}{3} =2\frac{2}{3}.$$
Ответ
а) $$5\frac{1}{3}$$; б) $$\frac{2}{3}$$; в) $$\frac{1}{4}$$; г) $$2\frac{2}{3}$$.
