Упр.49.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём площадь как определённый интеграл от функции на заданном промежутке.

а)

$$S=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\frac{1}{2}\cos x\right)\,dx$$

Первообразная:

$$\int\left(1+\frac{1}{2}\cos x\right)\,dx=x+\frac{1}{2}\sin x$$

Тогда

$$S=\left(x+\frac{1}{2}\sin x\right)\Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$$

$$S=\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\right)=\pi+1$$

б)

$$S=\int_{0}^{\pi}(1-\sin 2x)\,dx$$

Первообразная:

$$\int(1-\sin 2x)\,dx=x+\frac{1}{2}\cos 2x$$

Тогда

$$S=\left(x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)\Bigg|_{0}^{\pi} =\left(\pi+\frac{1}{2}\cos 2\pi\right)-\left(0+\frac{1}{2}\cos 0\right)$$

$$S=\left(\pi+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=\pi$$

Ответ

а) $$\pi+1$$; б) $$\pi$$.