Упр.49.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $$y=x^2$$, $$y=0$$, $$x=4$$;

б) $$y=x^3$$, $$y=0$$, $$x=-3$$, $$x=1$$;

в) $$y=x^2$$, $$y=0$$, $$x=-3$$;

г) $$y=x^4$$, $$y=0$$, $$x=-1$$, $$x=2$$.

а) На отрезке $$[0;4]$$ функция $$y=x^2$$ неотрицательна, поэтому площадь равна определённому интегралу:

$$S=\int_0^4 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^4=\frac{4^3}{3}-0=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}.$$

б) Функция $$y=x^3$$ меняет знак в точке $$x=0$$, поэтому площадь находим по частям:

$$S=-\int_{-3}^0 x^3\,dx+\int_0^1 x^3\,dx.$$

$$S=-\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-3}^0+\left.\frac{x^4}{4}\right|_0^1 =\frac{81}{4}+\frac{1}{4}=\frac{82}{4}=20{,}5.$$

в) На отрезке $$[-3;0]$$ функция $$y=x^2$$ неотрицательна, значит

$$S=\int_{-3}^0 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-3}^0 =0-\frac{(-3)^3}{3}=9.$$

г) На отрезке $$[-1;2]$$ функция $$y=x^4$$ неотрицательна, поэтому

$$S=\int_{-1}^2 x^4\,dx=\left.\frac{x^5}{5}\right|_{-1}^2 =\frac{2^5-(-1)^5}{5}=\frac{32+1}{5}=\frac{33}{5}=6{,}6.$$

Ответ: а) $$21\frac{1}{3}$$; б) $$20{,}5$$; в) $$9$$; г) $$6{,}6$$.