Упр.49.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите определённый интеграл:
   а) $$\int_{-\frac{2}{3}}^1 x^3\,dx$$;
   б) $$\int_1^3 \frac{dx}{x^2}$$;
   в) $$\int_{-1}^2 x^4\,dx$$;
   г) $$\int_4^9 \frac{dx}{\sqrt{x}}$$.

Воспользуемся формулой Ньютона–Лейбница:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\bigg|_a^b,$$

где $$F'(x)=f(x).$$

а)

$$\int_{-\frac{2}{3}}^{1} x^3\,dx = \left.\frac{x^4}{4}\right|_{-\frac{2}{3}}^{1} = \frac{1^4}{4}-\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^4}{4}$$

$$= \frac14-\frac{16}{324}=\frac{81-16}{324}=\frac{65}{324}.$$

б)

$$\int_{1}^{3}\frac{dx}{x^2}=\int_{1}^{3}x^{-2}\,dx=\left.-x^{-1}\right|_{1}^{3}$$

$$=-\frac13-(-1)=\frac23.$$

в)

$$\int_{-1}^{2}x^4\,dx=\left.\frac{x^5}{5}\right|_{-1}^{2}=\frac{2^5}{5}-\frac{(-1)^5}{5}$$

$$=\frac{32+1}{5}=\frac{33}{5}.$$

г)

$$\int_{4}^{9}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{4}^{9}x^{-\frac12}\,dx=\left.2\sqrt{x}\right|_{4}^{9}$$

$$=2(\sqrt{9}-\sqrt{4})=2(3-2)=2.$$

Ответ

а) $$\frac{65}{324}$$; б) $$\frac{2}{3}$$; в) $$\frac{33}{5}$$; г) $$2$$.