Упр.48.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Для функции $$y=f(x)$$ найдите хотя бы одну первообразную:

а) $$f(x)=\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)$$;
б) $$f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)$$;
в) $$f(x)=\cos(4x-3)$$;
г) $$f(x)=\sin\left(2-\frac{x}{2}\right)$$.

Используем формулы:

$$\int \sin(ax+b)\,dx=-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C,$$

$$\int \cos(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax+b)+C.$$

Ход решения

1. $$f(x)=\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)$$

   Тогда одна из первообразных:

   $$F(x)=-\frac{1}{3}\cos\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)+C.$$

2. $$f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)$$

   Тогда одна из первообразных:

   $$F(x)=-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)+C.$$

3. $$f(x)=\cos(4x-3)$$

   Тогда одна из первообразных:

   $$F(x)=\frac{1}{4}\sin(4x-3)+C.$$

4. $$f(x)=\sin\left(2-\frac{x}{2}\right)$$

   Тогда одна из первообразных:

   $$F(x)=2\cos\left(2-\frac{x}{2}\right)+C.$$

Ответ

а) $$-\frac{1}{3}\cos\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)+C$$

б) $$-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)+C$$

в) $$\frac{1}{4}\sin(4x-3)+C$$

г) $$2\cos\left(2-\frac{x}{2}\right)+C$$