Упр.48.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=e^x+\frac{1}{x}$$

Найдём первообразную по частям:

$$F(x)=\int \left(e^x+\frac{1}{x}\right)\,dx=e^x+\ln|x|+C.$$

Ответ: $$F(x)=e^x+\ln|x|+C.$$

б) $$f(x)=\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{5}{\sin^2 x}$$

Интегрируем почленно:

$$F(x)=\int \left(\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{5}{\sin^2 x}\right)\,dx=3\ln|x|-\frac{4}{x}+5\ctg x+C.$$

Ответ: $$F(x)=3\ln|x|-\frac{4}{x}+5\ctg x+C.$$

в) $$f(x)=x^{2/3}-x^{-1/3}$$

Используем формулу $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ при $$n\ne -1$$:

$$F(x)=\int \left(x^{2/3}-x^{-1/3}\right)\,dx=\frac{x^{5/3}}{5/3}-\frac{x^{2/3}}{2/3}+C=\frac{3x^{5/3}}{5}-\frac{3x^{2/3}}{2}+C.$$

Ответ: $$F(x)=\frac{3x^{5/3}}{5}-\frac{3x^{2/3}}{2}+C.$$

г) $$f(x)=\sqrt[5]{x}-2e^x=x^{1/5}-2e^x$$

Тогда

$$F(x)=\int \left(x^{1/5}-2e^x\right)\,dx=\frac{x^{6/5}}{6/5}-2e^x+C=\frac{5x^{6/5}}{6}-2e^x+C.$$

Ответ: $$F(x)=\frac{5x^{6/5}}{6}-2e^x+C.$$