Упр.48.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что функция $$y=F(x)$$ — первообразная для функции $$y=f(x)$$. Что больше — $$F(a)$$ или $$F(b)$$, если:

а) $$f(x)=(2x-10)\sqrt{x-3}$$, $$a=3{,}3$$, $$b=4{,}1$$;

б) $$f(x)=(3x+60)\sqrt[3]{2x-4}$$, $$a=15$$, $$b=17$$?

а) $$F'(x)=f(x)=(2x-10)\sqrt{x-3}.$$

Область определения: $$x\ge 3.$$

Найдём знак производной на отрезке $$[3{,}3;\,4{,}1].$$

Так как $$x\in[3{,}3;\,4{,}1],$$ то $$2x-10<0,$$ а $$\sqrt{x-3}>0.$$ Следовательно,

$$F'(x)<0,$$

значит, функция $$F(x)$$ убывает на этом промежутке. Поэтому

$$F(a)>F(b).$$

б) $$F'(x)=f(x)=(3x+60)\sqrt[3]{2x-4}.$$

Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$

Найдём нули производной:

$$(3x+60)\sqrt[3]{2x-4}=0 \\\\ 3x+60=0 \quad \text{или} \quad 2x-4=0$$

Отсюда

$$x=-20,\quad x=2.$$

Рассмотрим промежуток $$[15;\,17].$$ На нём $$3x+60>0$$ и $$\sqrt[3]{2x-4}>0,$$ значит

$$F'(x)>0.$$

Следовательно, $$F(x)$$ возрастает на этом промежутке, поэтому

$$F(a)<F(b).$$

Ответ

а) $$F(a)>F(b)$$; б) $$F(a)<F(b).$$