Упр.48.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Известно, что функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$. Найдите точки экстремума функции $$y=F(x)$$, если:
а) $$f(x)=\frac{x^2-5x+6}{\sqrt{x-1}}$$;
б) $$f(x)=(25x-x^3)\ln x$$;
в) $$f(x)=\frac{3x-6}{\sqrt[3]{2x+4}}$$;
г) $$f(x)=\frac{x^3-9x}{\sqrt[4]{2-x}}$$.
Так как $$F'(x)=f(x),$$ точки экстремума функции $$y=F(x)$$ находятся по смене знака производной.
$$f(x)=\frac{x^2-5x+6}{\sqrt{x-1}}.$$
Область определения: $$x>1.$$
Нули числителя:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,$$
откуда $$x=2$$ и $$x=3.$$
На промежутке $$x>1$$ знаменатель положителен, поэтому знак $$f(x)$$ определяется числителем:
$$f(x)>0 \text{ при } 1<x<2,\quad f(x)<0 \text{ при } 2<x<3,\quad f(x)>0 \text{ при } x>3.$$
Значит, $$x=2$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.
$$f(x)=(25x-x^3)\ln x=x(25-x^2)\ln x=x(5-x)(5+x)\ln x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Критические точки на области определения: $$x=1$$ и $$x=5.$$
Проверим знак производной:
$$f(x)<0 \text{ при } 0<x<1,\quad f(x)>0 \text{ при } 1<x<5,\quad f(x)<0 \text{ при } x>5.$$
Следовательно, $$x=1$$ — точка минимума, $$x=5$$ — точка максимума.
$$f(x)=\frac{3x-6}{\sqrt[3]{2x+4}}.$$
Область определения: $$x\ne -2.$$
Нули числителя:
$$3x-6=0 \Rightarrow x=2.$$
Знак функции меняется при $$x=-2$$ и $$x=2$$:
$$f(x)>0 \text{ при } x<-2,\quad f(x)<0 \text{ при } -2<x<2,\quad f(x)>0 \text{ при } x>2.$$
Значит, $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
$$f(x)=\frac{x^3-9x}{\sqrt[4]{2-x}}=\frac{x(x-3)(x+3)}{\sqrt[4]{2-x}}.$$
Область определения: $$x<2.$$
Критические точки на области определения: $$x=-3$$ и $$x=0.$$
Проверим знак производной:
$$f(x)<0 \text{ при } x<-3,\quad f(x)>0 \text{ при } -3<x<0,\quad f(x)<0 \text{ при } 0<x<2.$$
Следовательно, $$x=-3$$ — точка минимума, $$x=0$$ — точка максимума.
Ответ
а) $$x=2$$ — максимум, $$x=3$$ — минимум; б) $$x=1$$ — минимум, $$x=5$$ — максимум; в) $$x=-2$$ — максимум, $$x=2$$ — минимум; г) $$x=-3$$ — минимум, $$x=0$$ — максимум.
