Упр.48.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите ту первообразную для заданной функции $$y=f(x)$$, график которой касается заданной прямой $$y=kx+m$$:

а) $$f(x)=2x,\quad y=x+2$$;

б) $$f(x)=3x^3,\quad y=3x+4{,}75$$.

Пусть $$F(x)$$ — искомая первообразная, тогда $$F'(x)=f(x)$$, а заданная прямая должна быть касательной к графику $$y=F(x)$$.

а)

$$f(x)=2x$$

Тогда

$$F(x)=\int 2x\,dx=x^2+C.$$

Условие касания с прямой $$y=x+2$$ означает, что уравнение

$$x^2+C=x+2$$

имеет единственный корень. Приведём к квадратному уравнению:

$$x^2-x+(C-2)=0.$$

Для касания дискриминант равен нулю:

$$D=(-1)^2-4(C-2)=0,$$

$$1-4C+8=0,$$

$$4C=9,$$

$$C=\frac{9}{4}.$$

Следовательно,

$$F(x)=x^2+\frac{9}{4}.$$

б)

$$f(x)=3x^3$$

Тогда

$$F(x)=\int 3x^3\,dx=\frac{3}{4}x^4+C.$$

Пусть касание происходит в точке $$x=a$$. Тогда угловой коэффициент касательной равен

$$F'(a)=f(a)=3a^3.$$

По условию касательная — это прямая $$y=3x+4{,}75$$, значит её наклон равен $$3$$. Поэтому

$$3a^3=3,$$

$$a^3=1,$$

$$a=1.$$

Подставим $$a=1$$ в уравнение касательной:

$$y=F(1)+F'(1)(x-1).$$

Имеем

$$F(1)=\frac{3}{4}+C,\qquad F'(1)=3.$$

Тогда

$$y=\left(\frac{3}{4}+C\right)+3(x-1)=3x+\left(C-\frac{9}{4}\right).$$

Сравнивая с $$y=3x+4{,}75$$, получаем

$$C-\frac{9}{4}=4{,}75,$$

$$C=4{,}75+\frac{9}{4}=7.$$

Значит,

$$F(x)=\frac{3}{4}x^4+7.$$

Ответ: а) $$F(x)=x^2+\frac{9}{4}$$; б) $$F(x)=\frac{3}{4}x^4+7$$.