Упр.48.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите ту первообразную для заданной функции $$y=f(x)$$, график которой касается оси $$x$$: а) $$f(x)=2x+3$$; б) $$f(x)=12(3x-1)^3$$.

Первообразная, график которой касается оси $$x$$, должна иметь нуль кратности 2, то есть при некотором $$x_0$$ выполняется $$F(x_0)=0$$ и $$f(x_0)=F'(x_0)=0$$.

а)

$$f(x)=2x+3$$

Найдём первообразную:

$$F(x)=\int (2x+3)\,dx=x^2+3x+C.$$

Чтобы график касался оси $$x$$, уравнение $$F(x)=0$$ должно иметь один корень, то есть дискриминант равен нулю:

$$x^2+3x+C=0$$

$$D=3^2-4C=9-4C=0$$

$$4C=9,\qquad C=\frac{9}{4}.$$

Тогда

$$F(x)=x^2+3x+\frac{9}{4}.$$

б)

$$f(x)=12(3x-1)^3$$

Найдём первообразную:

$$F(x)=\int 12(3x-1)^3\,dx=(3x-1)^4+C.$$

Чтобы график касался оси $$x$$, нужно, чтобы уравнение $$F(x)=0$$ имело двойной корень. Так как $$(3x-1)^4 \ge 0$$, это возможно только при $$C=0$$.

Следовательно,

$$F(x)=(3x-1)^4.$$

Ответ

а) $$F(x)=x^2+3x+\frac{9}{4}$$; б) $$F(x)=(3x-1)^4$$.