Упр.48.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$y=g(x)$$ найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку $$M$$:
   а) $$g(x)=8\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},\quad M\left(\frac{\pi}{2};\,3\right)$$;
   б) $$g(x)=2\cos^2\frac{x}{2}-1,\quad M\left(\frac{\pi}{2};\,16\right)$$;
   в) $$g(x)=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2},\quad M(0;\,7)$$;
   г) $$g(x)=1-2\sin^2\frac{x}{2},\quad M\left(\frac{\pi}{2};\,15\right)$$.

Используем формулы тригонометрии и общий вид первообразной.

1. $$g(x)=8\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=4\sin x.$$

   Тогда первообразная имеет вид

   $$F(x)=\int 4\sin x\,dx=-4\cos x+C.$$

   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};3\right)$$:

   $$3=-4\cos \frac{\pi}{2}+C=C,$$

   значит, $$C=3.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-4\cos x+3.$$

2. $$g(x)=2\cos^2 \frac{x}{2}-1=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}=\cos x.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$

   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};16\right)$$:

   $$16=\sin \frac{\pi}{2}+C=1+C,$$

   откуда $$C=15.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\sin x+15.$$

3. $$g(x)=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}=\cos x.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$

   Подставим точку $$M(0;7)$$:

   $$7=\sin 0+C=C,$$

   значит, $$C=7.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\sin x+7.$$

4. $$g(x)=1-2\sin^2 \frac{x}{2}=\cos x.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$

   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};15\right)$$:

   $$15=\sin \frac{\pi}{2}+C=1+C,$$

   откуда $$C=14.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\sin x+14.$$

Ответ: а) $$F(x)=-4\cos x+3$$; б) $$F(x)=\sin x+15$$; в) $$F(x)=\sin x+7$$; г) $$F(x)=\sin x+14$$.