Упр.48.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Скорость движения точки по координатной прямой задана формулой $$v=\frac{6}{\sqrt{2t+1}}$$, $$t$$ — время движения. Найдите закон движения, если $$s(0)=3$$.

Скорость есть производная координаты по времени, значит нужно найти первообразную для функции $$v(t)=\frac{6}{\sqrt{2t+1}}=6(2t+1)^{-\frac12}.$$

Тогда

$$s(t)=\int 6(2t+1)^{-\frac12}\,dt.$$

Сделаем замену: $$u=2t+1,\quad du=2\,dt,\quad dt=\frac{du}{2}.$$

Получаем

$$s(t)=6\int u^{-\frac12}\cdot \frac{du}{2}=3\int u^{-\frac12}\,du=3\cdot 2u^{\frac12}+C=6\sqrt{2t+1}+C.$$

Используем условие $$s(0)=3$$:

$$3=6\sqrt{2\cdot 0+1}+C=6+C,$$

откуда

$$C=-3.$$

Следовательно, закон движения:

$$s(t)=6\sqrt{2t+1}-3.$$

Ответ: $$s(t)=6\sqrt{2t+1}-3.$$