Упр.48.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку M:

1. $$y=\sin x,\quad M\left(\frac{\pi}{3};\frac{1}{4}\right);$$
2. $$y=\frac{1}{\cos^2 x},\quad M\left(\frac{\pi}{4};-1\right);$$
3. $$y=\cos x,\quad M\left(\frac{\pi}{6};1\right);$$
4. $$y=\frac{1}{\sin^2 x/3},\quad M\left(\frac{3\pi}{4};0\right).$$

Для каждой функции запишем общий вид первообразной и подставим координаты точки $$M$$.

1. $$y=\sin x,\quad M\left(\frac{\pi}{3};\frac14\right)$$

   Первообразная имеет вид $$F(x)=-\cos x+C.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$\frac14=-\cos\frac{\pi}{3}+C=-\frac12+C.$$

   $$C=\frac14+\frac12=\frac34.$$

   Значит, $$F(x)=-\cos x+\frac34.$$

2. $$y=\frac{1}{\cos^2 x},\quad M\left(\frac{\pi}{4};-1\right)$$

   Первообразная имеет вид $$F(x)=\tg x+C.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$-1=\tg\frac{\pi}{4}+C=1+C.$$

   $$C=-2.$$

   Значит, $$F(x)=\tg x-2.$$

3. $$y=\cos x,\quad M\left(\frac{\pi}{6};1\right)$$

   Первообразная имеет вид $$F(x)=\sin x+C.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$1=\sin\frac{\pi}{6}+C=\frac12+C.$$

   $$C=\frac12.$$

   Значит, $$F(x)=\sin x+\frac12.$$

4. $$y=\frac{1}{\sin^2\frac{x}{3}},\quad M\left(\frac{3\pi}{4};0\right)$$

   Так как $$\int \frac{dx}{\sin^2\frac{x}{3}}=-3\ctg\frac{x}{3}+C,$$ то

   $$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+C.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$0=-3\ctg\frac{3\pi/4}{3}+C=-3\ctg\frac{\pi}{4}+C=-3+C.$$

   $$C=3.$$

   Значит, $$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+3.$$

Ответ

а) $$F(x)=-\cos x+\frac34$$; б) $$F(x)=\tg x-2$$; в) $$F(x)=\sin x+\frac12$$; г) $$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+3$$.