Упр.48.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=-\frac{1}{(6x+1)^2}$$;

б) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{7x-9}}$$;

в) $$f(x)=\frac{1}{(7x-3)^2}$$;

г) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{42-3x}}$$.

Найдём первообразные по формуле $$\int (ax+b)^n\,dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C,\quad n\ne -1.$$

1. $$f(x)=-\frac{1}{(6x+1)^2}=-(6x+1)^{-2}.$$

   Тогда

   $$F(x)=-\frac{1}{6}\cdot \frac{(6x+1)^{-1}}{-1}+C=\frac{1}{6(6x+1)}+C.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{7x-9}}=(7x-9)^{-\frac12}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\frac{1}{7}\cdot \frac{(7x-9)^{\frac12}}{\frac12}+C=\frac{2}{7}\sqrt{7x-9}+C.$$

3. $$f(x)=\frac{1}{(7x-3)^2}=(7x-3)^{-2}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\frac{1}{7}\cdot \frac{(7x-3)^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{7(7x-3)}+C.$$

4. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{42-3x}}=(42-3x)^{-\frac12}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\frac{1}{-3}\cdot \frac{(42-3x)^{\frac12}}{\frac12}+C=-\frac{2}{3}\sqrt{42-3x}+C.$$

Ответ:

а) $$F(x)=\frac{1}{6(6x+1)}+C$$; б) $$F(x)=\frac{2}{7}\sqrt{7x-9}+C$$; в) $$F(x)=-\frac{1}{7(7x-3)}+C$$; г) $$F(x)=-\frac{2}{3}\sqrt{42-3x}+C$$.