Упр.48.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$, если:
а) $$F(x)=x^2+x^3$$, $$f(x)=2x+3x^2$$;
б) $$F(x)=x^4-x^{11}$$, $$f(x)=4x^3-11x^{10}$$;
в) $$F(x)=x^7+x^9$$, $$f(x)=7x^6+9x^8$$;
г) $$F(x)=x^{13}-x^{19}$$, $$f(x)=13x^{12}-19x^{18}$$.

Подробный ответ

Воспользуемся определением первообразной: функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$, если $$F'(x)=f(x)$$.

$$F(x)=x^2+x^3,\quad f(x)=2x+3x^2$$
Найдём производную:
$$F'(x)=(x^2+x^3)’=(x^2)’+(x^3)’=2x+3x^2=f(x).$$
Следовательно, $$y=F(x)$$ является первообразной для $$y=f(x)$$.
$$F(x)=x^4-x^{11},\quad f(x)=4x^3-11x^{10}$$
Найдём производную:
$$F'(x)=(x^4-x^{11})’=(x^4)’-(x^{11})’=4x^3-11x^{10}=f(x).$$
Следовательно, $$y=F(x)$$ является первообразной для $$y=f(x)$$.
$$F(x)=x^7+x^9,\quad f(x)=7x^6+9x^8$$
Найдём производную:
$$F'(x)=(x^7+x^9)’=(x^7)’+(x^9)’=7x^6+9x^8=f(x).$$
Следовательно, $$y=F(x)$$ является первообразной для $$y=f(x)$$.
$$F(x)=x^{13}-x^{19},\quad f(x)=13x^{12}-19x^{18}$$
Найдём производную:
$$F'(x)=(x^{13}-x^{19})’=(x^{13})’-(x^{19})’=13x^{12}-19x^{18}=f(x).$$
Следовательно, $$y=F(x)$$ является первообразной для $$y=f(x)$$.