Упр.47.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите угол, образованный касательной к графику функции $$y=h(x)$$ с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой $$x_0$$: а) $$h(x)=\frac{1}{5}e^{5x-1},\quad x_0=0{,}2$$; б) $$h(x)=e^{-x-\sqrt{3}},\quad x_0=-\sqrt{3}$$; в) $$h(x)=\frac{1}{3}e^{1-3x},\quad x_0=\frac{1}{3}$$; г) $$h(x)=e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x-1},\quad x_0=\sqrt{3}$$.

Для угла наклона касательной к графику функции $$y=h(x)$$ к положительному направлению оси абсцисс используем формулу

$$\tan \alpha = h'(x_0).$$

1. $$h(x)=\frac15 e^{5x-1}, \quad x_0=0{,}2.$$

   $$h'(x)=\frac15 \cdot 5e^{5x-1}=e^{5x-1}.$$

   $$h'(0{,}2)=e^{5\cdot 0{,}2-1}=e^0=1.$$

   Тогда

   $$\alpha=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$$

2. $$h(x)=e^{-x-\sqrt3}, \quad x_0=-\sqrt3.$$

   $$h'(x)=-e^{-x-\sqrt3}.$$

   $$h'(-\sqrt3)=-e^{-(-\sqrt3)-\sqrt3}=-e^0=-1.$$

   Следовательно,

   $$\alpha=2\pi-\arctan 1=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.$$

3. $$h(x)=\frac13 e^{1-3x}, \quad x_0=\frac13.$$

   $$h'(x)=\frac13 \cdot (-3)e^{1-3x}=-e^{1-3x}.$$

   $$h’\!\left(\frac13\right)=-e^{1-3\cdot \frac13}=-e^0=-1.$$

   Значит,

   $$\alpha=2\pi-\arctan 1=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.$$

4. $$h(x)=e^{\frac{\sqrt3}{3}x-1}, \quad x_0=\sqrt3.$$

   $$h'(x)=\frac{\sqrt3}{3}e^{\frac{\sqrt3}{3}x-1}.$$

   $$h'(\sqrt3)=\frac{\sqrt3}{3}e^{\frac{\sqrt3}{3}\cdot \sqrt3-1}=\frac{\sqrt3}{3}e^0=\frac{\sqrt3}{3}.$$

   Тогда

   $$\alpha=\arctan \frac{\sqrt3}{3}=\frac{\pi}{6}.$$

Ответ: а) $$\frac{\pi}{4}$$; б) $$\frac{3\pi}{4}$$; в) $$\frac{3\pi}{4}$$; г) $$\frac{\pi}{6}$$.