Упр.47.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:
   а) $$f(x)=\sqrt[3]{x}\cdot e^x$$, $$x_0=1$$;
   б) $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^x}$$, $$x_0=1$$;
   в) $$f(x)=4e^x+3$$, $$x_0=-2$$;
   г) $$f(x)=0{,}1e^x-10x$$, $$x_0=0$$.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке $$x_0$$.

1. $$f(x)=\sqrt[3]{x}\cdot e^x,\quad x_0=1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)’e^x+\sqrt[3]{x}\cdot (e^x)’=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}e^x+\sqrt[3]{x}\,e^x.$$

   Приведём к общему виду:

   $$f'(x)=\frac{e^x(1+3x)}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$

   Тогда

   $$f'(1)=\frac{e(1+3\cdot 1)}{3\sqrt[3]{1^2}}=\frac{4e}{3}.$$

2. $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^x},\quad x_0=1.$$

   Найдём производную по правилу дроби:

   $$f'(x)=\frac{(\sqrt{x})’e^x-\sqrt{x}(e^x)’}{(e^x)^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^x-\sqrt{x}e^x}{e^{2x}}.$$

   Упростим:

   $$f'(x)=\frac{1-2x}{2e^x\sqrt{x}}.$$

   Тогда

   $$f'(1)=\frac{1-2\cdot 1}{2e^1\sqrt{1}}=-\frac{1}{2e}.$$

3. $$f(x)=4e^x+3,\quad x_0=-2.$$

   $$f'(x)=(4e^x+3)’=4e^x.$$

   Тогда

   $$f'(-2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}.$$

4. $$f(x)=0{,}1e^x-10x,\quad x_0=0.$$

   $$f'(x)=(0{,}1e^x-10x)’=0{,}1e^x-10.$$

   Тогда

   $$f'(0)=0{,}1e^0-10=0{,}1-10=-9{,}9.$$

Ответ: а) $$\frac{4e}{3}$$; б) $$-\frac{1}{2e}$$; в) $$\frac{4}{e^2}$$; г) $$-9{,}9$$.