Упр.47.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите значение производной заданной функции в указанной точке $$x_0$$:

а) $$y=e^x+x^2,\quad x_0=0$$;

б) $$y=e^x(x+1),\quad x_0=-1$$;

в) $$y=e^x-x,\quad x_0=1$$;

г) $$y=\frac{e^x}{x+1},\quad x_0=0$$.

а) $$y=e^x+x^2$$

Найдём производную:

$$y’=(e^x+x^2)’=e^x+2x$$

Подставим $$x_0=0$$:

$$y'(0)=e^0+2\cdot 0=1$$

Ответ: $$1$$

б) $$y=e^x(x+1)$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$y’=(e^x)'(x+1)+e^x(x+1)’=e^x(x+1)+e^x=e^x(x+2)$$

Подставим $$x_0=-1$$:

$$y'(-1)=e^{-1}(-1+2)=e^{-1}=\frac{1}{e}$$

Ответ: $$\frac{1}{e}$$

в) $$y=e^x-x$$

Найдём производную:

$$y’=(e^x-x)’=e^x-1$$

Подставим $$x_0=1$$:

$$y'(1)=e^1-1=e-1$$

Ответ: $$e-1$$

г) $$y=\frac{e^x}{x+1}$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$y’=\frac{(e^x)'(x+1)-e^x(x+1)’}{(x+1)^2}=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}=\frac{xe^x}{(x+1)^2}$$

Подставим $$x_0=0$$:

$$y'(0)=\frac{0\cdot e^0}{(0+1)^2}=0$$

Ответ: $$0$$