Упр.47.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y=x^6e^{-x}$$ на интервале $$(a;\,a+7)$$: а) имеет одну точку экстремума; б) имеет две точки экстремума; в) убывает; г) возрастает?

Найдём производную функции $$y=x^6e^{-x}$$:

$$y’=(x^6e^{-x})’=6x^5e^{-x}-x^6e^{-x}=x^5e^{-x}(6-x).$$

Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$x^5(6-x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=6.$$

Исследуем поведение функции на интервале $$\left(a;a+7\right).$$

а) Функция имеет одну точку экстремума

Одна точка экстремума будет тогда, когда интервал содержит ровно одну из точек $$0$$ и $$6.$$

Это возможно в двух случаях:

• $$a<0$$ и $$a+7>0,$$ но $$a+7<6,$$ то есть $$-7<a<0$$;
• $$a<6$$ и $$a+7>6,$$ но $$a>0,$$ то есть $$-1<a<6.$$

Объединяя, получаем:

$$a\in(-7;-1)\cup(0;6).$$

б) Функция имеет две точки экстремума

Нужно, чтобы интервал содержал обе критические точки:

$$a<0,\qquad a+7>6.$$

Отсюда

$$a>-1,$$

значит

$$-1<a<0.$$

в) Функция убывает

Функция убывает там, где интервал целиком лежит в областях убывания:

$$(-\infty;0]\cup[6;+\infty).$$

Значит, либо

$$a+7\le 0,$$

либо

$$a\ge 6.$$

Получаем:

$$a\in(-\infty;-7]\cup[6;+\infty).$$

г) Функция возрастает

Функция возрастает на промежутке $$[0;6].$$ Чтобы весь интервал $$\left(a;a+7\right)$$ лежал в этой области, нужно:

$$a\ge 0,\qquad a+7\le 6.$$

Но тогда $$a\le -1,$$ что невозможно одновременно с $$a\ge 0.$$

Следовательно, таких значений параметра нет.

Ответ

а) $$a\in(-7;-1)\cup(0;6);$$ б) $$a\in(-1;0);$$ в) $$a\in(-\infty;-7]\cup[6;+\infty);$$ г) таких значений $$a$$ нет.