Упр.47.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каком значении параметра $$a$$: а) прямая $$y=3x-4+a$$ является касательной к графику функции $$y=\ln(3x-4)$$; б) прямая $$y=2x+3+a$$ является касательной к графику функции $$y=\ln(2x+3)$$?

Для того чтобы прямая была касательной к графику функции, её угловой коэффициент должен совпадать с производной функции в точке касания.

а)

$$f(x)=\ln(3x-4), \qquad y=3x-4+a$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{3}{3x-4}$$

Так как угловой коэффициент прямой равен $$3$$, получаем:

$$\frac{3}{3x_0-4}=3$$

$$3x_0-4=1$$

$$3x_0=5,\qquad x_0=\frac{5}{3}$$

Найдём ординату точки касания:

$$f\!\left(\frac{5}{3}\right)=\ln\!\left(3\cdot\frac{5}{3}-4\right)=\ln 1=0$$

Уравнение касательной:

$$y=0+3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5$$

Сравниваем с заданной прямой:

$$3x-4+a=3x-5$$

$$a=-1$$

б)

$$f(x)=\ln(2x+3), \qquad y=2x+3+a$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{2}{2x+3}$$

Так как угловой коэффициент прямой равен $$2$$, получаем:

$$\frac{2}{2x_0+3}=2$$

$$2x_0+3=1$$

$$2x_0=-2,\qquad x_0=-1$$

Найдём ординату точки касания:

$$f(-1)=\ln(2\cdot(-1)+3)=\ln 1=0$$

Уравнение касательной:

$$y=0+2(x+1)=2x+2$$

Сравниваем с заданной прямой:

$$2x+3+a=2x+2$$

$$a=-1$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-1$$.