Упр.47.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Проведите касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат: а) $$y=\frac{e^x}{2}$$; б) $$y=\ln x$$; в) $$y=\frac{e^x}{3}$$; г) $$y=\ln x^3$$.

Пусть касательная к графику функции проходит через начало координат. Тогда для точки касания с абсциссой $$a$$ уравнение касательной имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Так как она проходит через начало координат, то при $$x=0$$ и $$y=0$$ получаем

$$0=f(a)-af'(a),$$

то есть

$$f(a)=af'(a).$$

а) $$y=e^{x/2}$$

$$f(a)=e^{a/2}, \qquad f'(a)=\frac12 e^{a/2}.$$

Из условия касания:

$$e^{a/2}=a\cdot \frac12 e^{a/2}.$$

Так как $$e^{a/2}\neq 0$$, то

$$1=\frac a2, \qquad a=2.$$

Тогда

$$y=e^{1}\!+\frac12 e^{1}(x-2)=\frac e2\,x.$$

б) $$y=\ln x$$

$$f(a)=\ln a, \qquad f'(a)=\frac1a.$$

Из условия касания:

$$\ln a=a\cdot \frac1a,$$

то есть

$$\ln a=1, \qquad a=e.$$

Тогда

$$y=1+\frac1e(x-e)=\frac1e\,x.$$

в) $$y=e^{x/3}$$

$$f(a)=e^{a/3}, \qquad f'(a)=\frac13 e^{a/3}.$$

Из условия касания:

$$e^{a/3}=a\cdot \frac13 e^{a/3}.$$

Следовательно,

$$1=\frac a3, \qquad a=3.$$

Тогда

$$y=e+\frac e3(x-3)=\frac e3\,x.$$

г) $$y=\ln x^3$$

Так как $$x^3>0$$, то $$x>0$$, и

$$y=\ln x^3=3\ln x.$$

Тогда

$$f(a)=3\ln a, \qquad f'(a)=\frac3a.$$

Из условия касания:

$$3\ln a=a\cdot \frac3a,$$

то есть

$$3\ln a=3, \qquad \ln a=1, \qquad a=e.$$

Следовательно,

$$y=3+\frac3e(x-e)=\frac3e\,x.$$

Ответ

а) $$y=\frac e2x$$; б) $$y=\frac1e x$$; в) $$y=\frac e3x$$; г) $$y=\frac3e x$$.