Упр.47.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Напишите уравнение той касательной к графику функции $$y=f(x)$$, которая параллельна данной прямой $$y=kx+m$$:
   а) $$f(x)=e^{2x}$$, $$y=2ex-5$$;
   б) $$f(x)=\ln(3x+2)$$, $$y=x+7$$.

а) Найдём производную функции $$f(x)=e^{2x}$$:

$$f'(x)=2e^{2x}.$$

Так как касательная параллельна прямой $$y=2ex-5,$$ её угловой коэффициент равен $$2e.$$ Тогда

$$2e^{2a}=2e,$$

$$e^{2a}=e,$$

$$2a=1,$$

$$a=\frac12.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f\!\left(\frac12\right)=e^{2\cdot \frac12}=e.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(a)(x-a)+f(a),$$

$$y=2e\left(x-\frac12\right)+e=2ex-e+e=2ex.$$

б) Найдём производную функции $$f(x)=\ln(3x+2):$$

$$f'(x)=\frac{3}{3x+2}.$$

Так как касательная параллельна прямой $$y=x+7,$$ её угловой коэффициент равен $$1.$$ Тогда

$$\frac{3}{3a+2}=1,$$

$$3=3a+2,$$

$$3a=1,$$

$$a=\frac13.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f\!\left(\frac13\right)=\ln\!\left(3\cdot \frac13+2\right)=\ln 3.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(a)(x-a)+f(a),$$

$$y=1\left(x-\frac13\right)+\ln 3=x-\frac13+\ln 3.$$

Ответ

а) $$y=2ex$$; б) $$y=x-\frac13+\ln 3$$.