Упр.47.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x-\ln x$$ на заданном отрезке:
а) $$\left[\frac{1}{e};e\right]$$;
б) $$\left[e;e^2\right]$$.

Рассмотрим функцию $$y=x-\ln x.$$

Найдём производную:

$$y’=(x-\ln x)’=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$

Область определения: $$x>0.$$

Критическая точка: $$y’=0 \iff x=1.$$

На промежутке $$0<x<1$$ производная отрицательна, а при $$x>1$$ положительна. Значит, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$

а) $$\left[\frac{1}{e};\,e\right]$$

Так как на этом отрезке точка $$x=1$$ принадлежит промежутку, то минимум достигается в ней:

$$y(1)=1-\ln 1=1.$$

Проверим концы отрезка:

$$y\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}-\ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}-(-1)=\frac{1}{e}+1,$$

$$y(e)=e-\ln e=e-1.$$

Сравниваем значения: $$1<e-1<\frac{1}{e}+1.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $$1,$$ а наибольшее — $$e-1.$$

б) $$\left[e;\,e^2\right]$$

На этом отрезке функция возрастает, значит, минимум достигается в левой границе, а максимум — в правой:

$$y(e)=e-\ln e=e-1,$$

$$y(e^2)=e^2-\ln e^2=e^2-2.$$

Значит, наименьшее значение равно $$e-1,$$ а наибольшее — $$e^2-2.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=1,\; y_{\max}=e-1.$$
б) $$y_{\min}=e-1,\; y_{\max}=e^2-2.$$