Упр.47.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$y=2\ln x^3-5x+\frac{x^2}{2}=6\ln x-5x+\frac{x^2}{2},$$
$$y’=\frac{6}{x}-5+x=\frac{x^2-5x+6}{x}=\frac{(x-2)(x-3)}{x}.$$

Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$(x-2)(x-3).$$

Получаем:

$$y’>0 \text{ при } x\in(0;2]\cup[3;+\infty),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in[2;3].$$

Следовательно, функция возрастает на $$(0;2] \cup [3;+\infty),$$ убывает на $$[2;3].$$

В точке $$x=2$$ — локальный максимум,

$$y(2)=2\ln 8-10+\frac{4}{2}=2\ln 8-8.$$

В точке $$x=3$$ — локальный минимум,

$$y(3)=2\ln 27-15+\frac{9}{2}=2\ln 27-10{,}5.$$

б) Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$y=\ln\frac{1}{x^3}+x^2+x+3=-3\ln x+x^2+x+3,$$
$$y’=-\frac{3}{x}+2x+1=\frac{2x^2+x-3}{x}=\frac{(2x+3)(x-1)}{x}.$$

Так как $$x>0,$$ знак производной определяется множителем $$x-1.$$

Получаем:

$$y'<0 \text{ при } x\in(0;1),$$
$$y’>0 \text{ при } x\in[1;+\infty).$$

Следовательно, функция убывает на $$(0;1),$$ возрастает на $$[1;+\infty).$$

В точке $$x=1$$ — точка минимума:

$$y(1)=\ln 1+1+1+3=5.$$

Ответ

а) Функция возрастает на $$(0;2] \cup [3;+\infty),$$ убывает на $$[2;3].$$ Точка максимума: $$x=2,$$ $$y=2\ln 8-8.$$ Точка минимума: $$x=3,$$ $$y=2\ln 27-10{,}5.$$

б) Функция убывает на $$(0;1),$$ возрастает на $$[1;+\infty).$$ Точка минимума: $$x=1,$$ $$y=5.$$