Упр.47.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=x+\ln\frac{1}{x}$$; б) $$y=x^4-4\ln x$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=x+\ln\frac{1}{x}=x-\ln x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$y’=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$
Критическая точка: $$y’=0 \iff x=1.$$
На области определения $$x>0$$ знак производной определяется числителем $$x-1$$:
- при $$0<x<1$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает;
- при $$x>1$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает.
Следовательно, в точке $$x=1$$ функция имеет минимум:
$$y(1)=1+\ln 1=1.$$
Итак, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$, возрастает на $$\left[1;+\infty\right)$$, точка минимума — $$\left(1;1\right).$$
б) Рассмотрим функцию $$y=x^4-4\ln x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-\frac{4}{x}=\frac{4(x^4-1)}{x}=\frac{4(x^2-1)(x^2+1)}{x}=\frac{4(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x}.$$
На области определения $$x>0$$ множители $$4$$, $$x$$ и $$x^2+1$$ положительны, поэтому знак $$y’$$ определяется множителем $$x-1$$:
- при $$0<x<1$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает;
- при $$x>1$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает.
В точке $$x=1$$ производная обращается в нуль, и здесь достигается минимум:
$$y(1)=1^4-4\ln 1=1.$$
Итак, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$, возрастает на $$\left[1;+\infty\right)$$, точка минимума — $$\left(1;1\right).$$
Ответ
а) $$y$$ убывает на $$\left(0;1\right]$$, возрастает на $$\left[1;+\infty\right)$$; минимум в точке $$\left(1;1\right).$$
б) $$y$$ убывает на $$\left(0;1\right]$$, возрастает на $$\left[1;+\infty\right)$$; минимум в точке $$\left(1;1\right).$$
