Упр.47.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Используем формулу уравнения касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$:
$$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$
$$f(x)=xe^{2x-1}, \quad a=\frac12.$$
$$f\!\left(\frac12\right)=\frac12\cdot e^{2\cdot \frac12-1}=\frac12,$$
$$f'(x)=(xe^{2x-1})’=e^{2x-1}+2xe^{2x-1}=e^{2x-1}(1+2x),$$
$$f’\!\left(\frac12\right)=e^{0}(1+1)=2.$$
Тогда
$$y=2\left(x-\frac12\right)+\frac12=2x-\frac12.$$
$$f(x)=\frac{x^2-1}{e^{3-x}}, \quad a=2.$$
$$f(2)=\frac{4-1}{e^{1}}=\frac{3}{e},$$
$$f'(x)=\left((x^2-1)e^{x-3}\right)’=2xe^{x-3}+(x^2-1)e^{x-3}=e^{x-3}(x^2+2x-1),$$
$$f'(2)=e^{-1}(4+4-1)=\frac{7}{e}.$$
Тогда
$$y=\frac{7}{e}(x-2)+\frac{3}{e}=\frac{7}{e}x-\frac{11}{e}.$$
$$f(x)=x^3\ln x, \quad a=e.$$
$$f(e)=e^3\ln e=e^3,$$
$$f'(x)=(x^3\ln x)’=3x^2\ln x+x^3\cdot \frac1x=x^2(3\ln x+1),$$
$$f'(e)=e^2(3\cdot 1+1)=4e^2.$$
Тогда
$$y=4e^2(x-e)+e^3=4e^2x-3e^3.$$
$$f(x)=(2x+1)e^{1-2x}, \quad a=\frac12.$$
$$f\!\left(\frac12\right)=(2\cdot \frac12+1)e^{1-2\cdot \frac12}=2,$$
$$f'(x)=(2x+1)’e^{1-2x}+(2x+1)(e^{1-2x})’$$
$$f'(x)=2e^{1-2x}-2(2x+1)e^{1-2x}=-4xe^{1-2x},$$
$$f’\!\left(\frac12\right)=-4\cdot \frac12 \cdot e^{0}=-2.$$
Тогда
$$y=-2\left(x-\frac12\right)+2=-2x+3.$$
Ответ: а) $$y=2x-\frac12$$; б) $$y=\frac{7}{e}x-\frac{11}{e}$$; в) $$y=4e^2x-3e^3$$; г) $$y=-2x+3$$.
