Упр.47.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$:

а) $$f(x)=x^5-\ln x,\quad a=1$$;

б) $$f(x)=\frac{\ln x}{x^2},\quad a=1$$;

в) $$f(x)=-2x\ln x,\quad a=e$$;

г) $$f(x)=\sqrt[3]{x}\ln x,\quad a=1$$.

Используем формулу касательной к графику функции в точке $$x=a$$:

$$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$

1. $$f(x)=x^5-\ln x,\quad a=1.$$

   $$f(1)=1^5-\ln 1=1,$$

   $$f'(x)=5x^4-\frac{1}{x},$$

   $$f'(1)=5-\!1=4.$$

   Тогда

   $$y=4(x-1)+1=4x-3.$$

2. $$f(x)=\frac{\ln x}{x^2},\quad a=1.$$

   $$f(1)=\frac{\ln 1}{1^2}=0,$$

   $$f'(x)=\frac{(\ln x)’ \cdot x^2-\ln x \cdot (x^2)’}{(x^2)^2} =\frac{\frac{1}{x}\cdot x^2-\ln x \cdot 2x}{x^4} =\frac{1-2\ln x}{x^3},$$

   $$f'(1)=1.$$

   Тогда

   $$y=1(x-1)+0=x-1.$$

3. $$f(x)=-2x\ln x,\quad a=e.$$

   $$f(e)=-2e\ln e=-2e,$$

   $$f'(x)=(-2x)’\ln x+(-2x)(\ln x)’=-2\ln x-2,$$

   $$f'(e)=-2\cdot 1-2=-4.$$

   Тогда

   $$y=-4(x-e)-2e=-4x+2e.$$

4. $$f(x)=\sqrt[3]{x}\,\ln x,\quad a=1.$$

   $$f(1)=\sqrt[3]{1}\cdot \ln 1=0,$$

   $$f'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)’\ln x+\sqrt[3]{x}(\ln x)’=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\ln x+x^{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{\ln x+3}{3\sqrt[3]{x^2}},$$

   $$f'(1)=\frac{\ln 1+3}{3}=1.$$

   Тогда

   $$y=1(x-1)+0=x-1.$$

Ответ: а) $$y=4x-3$$; б) $$y=x-1$$; в) $$y=-4x+2e$$; г) $$y=x-1$$.