Упр.47.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите значение производной заданной функции в указанной точке:

• а) $$y=\ln x+x,\quad x_0=\frac{1}{7}$$;
• б) $$y=x^3\ln x,\quad x_0=e$$;
• в) $$y=x^2-\ln x,\quad x_0=0{,}5$$;
• г) $$y=\frac{\ln x}{x},\quad x_0=1$$.

а) $$y=\ln x+x,$$ $$x_0=\frac17.$$

Найдём производную:

$$y’=(\ln x+x)’=\frac1x+1.$$

Подставим $$x_0=\frac17$$:

$$y’\!\left(\frac17\right)=\frac{1}{1/7}+1=7+1=8.$$

Ответ: $$8$$.

б) $$y=x^3\ln x,$$ $$x_0=e.$$

По правилу произведения:

$$y’=(x^3\ln x)’=3x^2\ln x+x^3\cdot\frac1x=3x^2\ln x+x^2=x^2(3\ln x+1).$$

Тогда

$$y'(e)=e^2(3\ln e+1)=e^2(3\cdot1+1)=4e^2.$$

Ответ: $$4e^2$$.

в) $$y=x^2-\ln x,$$ $$x_0=0{,}5.$$

Найдём производную:

$$y’=(x^2-\ln x)’=2x-\frac1x.$$

Подставим $$x_0=0{,}5$$:

$$y'(0{,}5)=2\cdot0{,}5-\frac1{0{,}5}=1-2=-1.$$

Ответ: $$-1$$.

г) $$y=\frac{\ln x}{x},$$ $$x_0=1.$$

По правилу производной частного:

$$y’=\left(\frac{\ln x}{x}\right)’=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$

Тогда

$$y'(1)=\frac{1-\ln 1}{1^2}=1.$$

Ответ: $$1$$.