Упр.47.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите производную функции:

а) $$y=x^2\ln x$$;

б) $$y=3\ln x+\sin 2x$$;

в) $$y=\frac{x}{\ln x}$$;

г) $$y=2\cos\frac{x}{2}-5\ln x$$.

а) $$y=x^2\ln x$$

Применим правило производной произведения:

$$y’=(x^2)’\ln x+x^2(\ln x)’=2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).$$

Ответ: $$x(2\ln x+1).$$

б) $$y=3\ln x+\sin 2x$$

Найдём производную по частям:

$$y’=3(\ln x)’+(\sin 2x)’=3\cdot \frac{1}{x}+2\cos 2x=\frac{3}{x}+2\cos 2x.$$

Ответ: $$\frac{3}{x}+2\cos 2x.$$

в) $$y=\frac{x}{\ln x}$$

Используем правило производной частного:

$$y’=\left(\frac{x}{\ln x}\right)’=\frac{1\cdot \ln x-x\cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x}=\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}.$$

Ответ: $$\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}.$$

г) $$y=2\cos \frac{x}{2}-5\ln x$$

Тогда

$$y’=2\left(\cos \frac{x}{2}\right)’-5(\ln x)’=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}\right)-5\cdot \frac{1}{x}=-\sin \frac{x}{2}-\frac{5}{x}.$$

Ответ: $$-\sin \frac{x}{2}-\frac{5}{x}.$$