Упр.47.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=e^{2x}-3e^x+x+4$$; б) $$y=1-3x+5e^x-e^{2x}$$.

а) $$y=e^{2x}-3e^x+x+4$$

Область определения: $$x\in\mathbb R.$$

Найдём производную:

$$y’ = 2e^{2x}-3e^x+1.$$

Решим уравнение $$y’=0$$:

$$2e^{2x}-3e^x+1=0.$$

Обозначим $$t=e^x,\; t>0.$$ Тогда

$$2t^2-3t+1=0,$$

$$D=9-8=1,$$

$$t_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

Следовательно,

$$e^x=\frac12 \quad \text{или} \quad e^x=1,$$

откуда

$$x=\ln\frac12=-\ln 2,\qquad x=0.$$

Исследуем знак производной:

$$y’=(2e^x-1)(e^x-1).$$

Так как $$e^x>0,$$ получаем:

• при $$x\in(-\infty,-\ln 2)$$ имеем $$y’>0$$;
• при $$x\in(-\ln 2,0)$$ имеем $$y'<0$$;
• при $$x\in(0,+\infty)$$ имеем $$y’>0.$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-\ln 2]\cup[0,+\infty),$$ убывает на $$[-\ln 2,0].$$

В точке $$x=-\ln 2$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка максимума:

$$y(-\ln 2)=e^{-2\ln 2}-3e^{-\ln 2}-\ln 2+4=\frac14-\frac32-\ln 2+4=\frac{11}{4}-\ln 2.$$

В точке $$x=0$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума:

$$y(0)=1-3+0+4=2.$$

Ответ: функция возрастает на $$(-\infty,-\ln 2]\cup[0,+\infty),$$ убывает на $$[-\ln 2,0];$$ максимум при $$x=-\ln 2,$$ $$y_{\max}=\frac{11}{4}-\ln 2;$$ минимум при $$x=0,$$ $$y_{\min}=2.$$

б) $$y=1-3x+5e^x-e^{2x}$$

Область определения: $$x\in\mathbb R.$$

Найдём производную:

$$y’=-3+5e^x-2e^{2x}.$$

Решим уравнение $$y’=0$$:

$$-3+5e^x-2e^{2x}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2e^{2x}-5e^x+3=0.$$

Положим $$t=e^x,\; t>0.$$ Тогда

$$2t^2-5t+3=0,$$

$$D=25-24=1,$$

$$t_1=\frac{5-1}{4}=1,\qquad t_2=\frac{5+1}{4}=\frac32.$$

Следовательно,

$$e^x=1 \quad \text{или} \quad e^x=\frac32,$$

откуда

$$x=0,\qquad x=\ln\frac32.$$

Так как

$$y’=-\bigl(2e^x-3\bigr)(e^x-1),$$

то знак производной меняется так:

• при $$x\in(-\infty,0)$$ имеем $$y'<0$$;
• при $$x\in(0,\ln\frac32)$$ имеем $$y’>0$$;
• при $$x\in(\ln\frac32,+\infty)$$ имеем $$y'<0.$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty,0]\cup[\ln\frac32,+\infty),$$ возрастает на $$[0,\ln\frac32].$$

В точке $$x=0$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума:

$$y(0)=1-0+5-1=5.$$

В точке $$x=\ln\frac32$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка максимума:

$$y\!\left(\ln\frac32\right) =1-3\ln\frac32+5\cdot\frac32-\left(\frac32\right)^2 =1-3\ln\frac32+\frac{15}{2}-\frac94 =\frac{29}{4}-3\ln\frac32.$$

Ответ: функция убывает на $$(-\infty,0]\cup[\ln\frac32,+\infty),$$ возрастает на $$[0,\ln\frac32];$$ минимум при $$x=0,$$ $$y_{\min}=5;$$ максимум при $$x=\ln\frac32,$$ $$y_{\max}=\frac{29}{4}-3\ln\frac32.$$