Упр.47.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^2e^x$$ на заданном отрезке: а) $$[-1;1]$$; б) $$[-3;1]$$; в) $$[-3;-1]$$; г) $$[1;3]$$.
Найдём производную функции $$y=x^2e^x$$:
$$y’=(x^2)’e^x+x^2(e^x)’=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2).$$
Так как $$e^x>0$$ при любых $$x$$, то знак производной определяется выражением $$x(x+2)$$. Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=0$$.
а) $$[-1;1]$$
На отрезке нужно проверить концы и критические точки, попадающие в него: $$x=-1,\,0,\,1$$.
$$y(-1)=(-1)^2e^{-1}=\frac1e,$$
$$y(0)=0^2e^0=0,$$
$$y(1)=1^2e^1=e.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=e.$$
б) $$[-3;1]$$
Проверим точки $$x=-3,\,-2,\,0,\,1$$.
$$y(-3)=9e^{-3}=\frac{9}{e^3},$$
$$y(-2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2},$$
$$y(0)=0,$$
$$y(1)=e.$$
Значит, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=e.$$
в) $$[-3;-1]$$
Проверим точки $$x=-3,\,-2,\,-1$$.
$$y(-3)=\frac{9}{e^3},$$
$$y(-2)=\frac{4}{e^2},$$
$$y(-1)=\frac1e.$$
Наименьшее значение: $$\frac{9}{e^3}$$, наибольшее значение: $$\frac1e.$$
г) $$[1;3]$$
На отрезке функция возрастает, поэтому достаточно сравнить значения на концах:
$$y(1)=e,$$
$$y(3)=9e^3.$$
Следовательно, $$y_{\min}=e,$$ $$y_{\max}=9e^3.$$
Ответ: а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=e$$; б) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=e$$; в) $$y_{\min}=\frac{9}{e^3},\ y_{\max}=\frac1e$$; г) $$y_{\min}=e,\ y_{\max}=9e^3$$.
