Упр.47.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

а) $$y=x^2e^x$$; б) $$y=xe^{2x-4}$$; в) $$y=x^3e^x$$; г) $$y=\frac{e^x}{x}$$.

а) $$y=x^2e^x$$

$$y’=(x^2e^x)’=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2).$$

Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$x(x+2)$$.

$$y’=0 \iff x=-2 \text{ или } x=0.$$

Знаки производной:

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2] \cup [0;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;0]$$.

В точке $$x=-2$$ — локальный максимум: $$y(-2)=4e^{-2}=\dfrac{4}{e^2}$$.

В точке $$x=0$$ — локальный минимум: $$y(0)=0$$.

б) $$y=xe^{2x-4}$$

$$y’=(xe^{2x-4})’=e^{2x-4}+2xe^{2x-4}=e^{2x-4}(1+2x).$$

Так как $$e^{2x-4}>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$1+2x$$.

$$y’=0 \iff x=-\dfrac12.$$

Знаки производной:

Функция убывает на $$(-\infty;-\tfrac12]$$ и возрастает на $$[-\tfrac12;+\infty)$$.

В точке $$x=-\dfrac12$$ — минимум:

$$y\!\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac12\cdot e^{-5}=-\dfrac{1}{2e^5}.$$

в) $$y=x^3e^x$$

$$y’=(x^3e^x)’=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(x+3).$$

Так как $$x^2e^x\ge 0$$, знак производной определяется выражением $$x+3$$, а также нужно учесть, что $$y’=0$$ при $$x=0$$.

$$y’=0 \iff x=-3 \text{ или } x=0.$$

Знаки производной:

Функция убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[-3;+\infty)$$.

В точке $$x=-3$$ — минимум:

$$y(-3)=-27e^{-3}=-\dfrac{27}{e^3}.$$

Точка $$x=0$$ не является точкой экстремума.

г) $$y=\dfrac{e^x}{x}$$

Область определения: $$x\ne 0$$.

$$y’=\left(\dfrac{e^x}{x}\right)’=\dfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}.$$

Так как $$e^x>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется выражением $$x-1$$.

$$y’=0 \iff x=1.$$

Знаки производной:

Функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$.

В точке $$x=1$$ — минимум:

$$y(1)=e.$$

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0]$$; максимум при $$x=-2$$, минимум при $$x=0$$.

б) убывает на $$(-\infty;-\tfrac12]$$, возрастает на $$[-\tfrac12;+\infty)$$; минимум при $$x=-\tfrac12$$.

в) убывает на $$(-\infty;-3]$$, возрастает на $$[-3;+\infty)$$; минимум при $$x=-3$$.

г) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$; минимум при $$x=1$$.