Упр.47.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Напишите уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$:

а) $$y=e^x$$, $$a=1$$;

б) $$y=e^x$$, $$a=2$$;

в) $$y=e^x$$, $$a=0$$;

г) $$y=e^x$$, $$a=-1$$.

Используем формулу уравнения касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x=a$$:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

1. $$f(x)=e^x,\quad a=1.$$

   $$f(1)=e,\qquad f'(x)=(e^x)’=e^x,\qquad f'(1)=e.$$

   $$y=e+e(x-1)=ex.$$

2. $$f(x)=e^x,\quad a=2.$$

   $$f(2)=e^2,\qquad f'(x)=(e^x)’=e^x,\qquad f'(2)=e^2.$$

   $$y=e^2+e^2(x-2)=e^2x-e^2=e^2(x-1).$$

3. $$f(x)=e^x,\quad a=0.$$

   $$f(0)=1,\qquad f'(x)=(e^x)’=e^x,\qquad f'(0)=1.$$

   $$y=1+1\cdot(x-0)=x+1.$$

4. $$f(x)=e^x,\quad a=-1.$$

   $$f(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e},\qquad f'(x)=(e^x)’=e^x,\qquad f'(-1)=\frac{1}{e}.$$

   $$y=\frac{1}{e}+\frac{1}{e}(x+1)=\frac{x+2}{e}.$$

Ответ: а) $$y=ex$$; б) $$y=e^2(x-1)$$; в) $$y=x+1$$; г) $$y=\frac{x+2}{e}$$.