Упр.46.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3\log_3^2 x=\frac{5}{\log_x 3}+2$$; б) $$2\log_2^2 x=\frac{5}{\log_x 2}+3$$.

а) Обозначим $$y=\log_3 x.$$ Тогда уравнение примет вид

$$3y^2=\frac{5}{\log_x 3}+2.$$

Так как $$\log_x 3=\frac{1}{\log_3 x}=\frac{1}{y},$$ получаем

$$3y^2=5y+2,$$

$$3y^2-5y-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=25+24=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}.$$

Тогда

$$y_1=-\frac{1}{3}, \qquad y_2=2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_3 x=-\frac{1}{3} \Rightarrow x=3^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}},$$

$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9.$$

б) Обозначим $$y=\log_2 x.$$ Тогда

$$2y^2=\frac{5}{\log_x 2}+3.$$

Так как $$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}=\frac{1}{y},$$ получаем

$$2y^2=5y+3,$$

$$2y^2-5y-3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=25+24=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}.$$

Тогда

$$y_1=-\frac{1}{2}, \qquad y_2=3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_2 x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}},$$

$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=2^3=8.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}; \ 9.$$
б) $$\frac{1}{\sqrt{2}}; \ 8.$$