Упр.46.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\log_4 x+\log_{16}x+\log_2 x=7$$;
   б) $$\log_3 x+\log_{\sqrt{3}}x+\log_{\frac{1}{3}}x=6$$.

а) Перепишем логарифмы с основанием $$16$$ и $$4$$ через основание $$2$$:

$$\log_{4}x=\frac{1}{2}\log_{2}x,\qquad \log_{16}x=\frac{1}{4}\log_{2}x.$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\log_{2}x+\frac{1}{4}\log_{2}x+\log_{2}x=7,$$

$$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+1\right)\log_{2}x=7,$$

$$\frac{7}{4}\log_{2}x=7,$$

$$\log_{2}x=4,$$

$$x=2^4=16.$$

Ответ: $$16$$.

б) Преобразуем логарифмы к основанию $$3$$:

$$\log_{\sqrt{3}}x=\log_{3^{1/2}}x=2\log_{3}x,$$

$$\log_{\frac13}x=\log_{3^{-1}}x=-\log_{3}x.$$

Тогда

$$\log_{3}x+\log_{\sqrt{3}}x+\log_{\frac13}x=6,$$

$$\log_{3}x+2\log_{3}x-\log_{3}x=6,$$

$$2\log_{3}x=6,$$

$$\log_{3}x=3,$$

$$x=3^3=27.$$

Ответ: $$27$$.