Упр.46.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\log_2 6$$ и $$\log_4 5$$; б) $$\log_{\frac{1}{2}} 3$$ и $$\log_{\frac{1}{4}} 1{,}5$$; в) $$\log_9 6$$ и $$\log_3 7$$; г) $$\log_{\frac{1}{3}} 4$$ и $$\log_{\frac{1}{9}} 7$$.
Сравним числа, используя свойства логарифмов и переход к новому основанию.
$$\log_2 6 \text{ и } \log_4 5$$
$$\log_2 6=\log_2 6^2=\log_4 36$$
Так как $$36>5,$$ то при основании $$4>1$$ получаем:
$$\log_4 36>\log_4 5$$
Следовательно, $$\log_2 6>\log_4 5.$$
$$\log_{\frac12} 3 \text{ и } \log_{\frac14} 1{,}5$$
$$\log_{\frac12} 3=\log_{\left(\frac12\right)^2} 3^2=\log_{\frac14} 9$$
Так как $$9>1{,}5,$$ а при основании $$\frac14<1$$ знак неравенства меняется:
$$\log_{\frac14} 9<\log_{\frac14} 1{,}5$$
Значит, $$\log_{\frac12} 3<\log_{\frac14} 1{,}5.$$
$$\log_9 6 \text{ и } \log_3 7$$
$$\log_3 7=\log_{3^2} 7^2=\log_9 49$$
Так как $$49>6,$$ то при основании $$9>1$$ имеем:
$$\log_9 49>\log_9 6$$
Следовательно, $$\log_9 6<\log_3 7.$$
$$\log_{\frac13} 4 \text{ и } \log_{\frac19} 7$$
$$\log_{\frac13} 4=\log_{\left(\frac13\right)^2} 4^2=\log_{\frac19} 16$$
Так как $$16>7,$$ а при основании $$\frac19<1$$ знак неравенства меняется:
$$\log_{\frac19} 16<\log_{\frac19} 7$$
Значит, $$\log_{\frac13} 4<\log_{\frac19} 7.$$
Ответ: а) $$\log_2 6>\log_4 5$$; б) $$\log_{\frac12} 3<\log_{\frac14} 1{,}5$$; в) $$\log_9 6<\log_3 7$$; г) $$\log_{\frac13} 4<\log_{\frac19} 7$$.
