Упр.46.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решите неравенство:
- $$\log_9 x^2+\log_3^2(-x)<2$$;
- $$\log_4 x^2+\log_2^2(-x)>6$$.
а) Область допустимых значений: $$-x>0,\quad x<0.$$
Преобразуем неравенство:
$$\log_9 x^2+\log_3^2(-x)<2.$$
Так как $$\log_9 x^2=\log_{3^2}x^2=\log_3|x|=\log_3(-x),$$ то при $$x<0$$ получаем
$$\log_3(-x)+\log_3^2(-x)<2.$$
Сделаем замену:
$$t=\log_3(-x).$$
Тогда
$$t^2+t-2<0,$$
$$(t+2)(t-1)<0,$$
$$-2<t<1.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$-2<\log_3(-x)<1.$$
Так как основание логарифма больше 1, имеем
$$3^{-2}<-x<3^1,$$
$$\frac{1}{9}<-x<3,$$
$$-3<x<-\frac{1}{9}.$$
Ответ: $$x\in\left(-3;\,-\frac{1}{9}\right).$$
б) Область допустимых значений: $$-x>0,\quad x<0.$$
Преобразуем неравенство:
$$\log_4 x^2+\log_2^2(-x)>6.$$
Так как $$\log_4 x^2=\log_{2^2}x^2=\log_2(-x),$$ то при $$x<0$$ получаем
$$\log_2(-x)+\log_2^2(-x)>6.$$
Сделаем замену:
$$t=\log_2(-x).$$
Тогда
$$t^2+t-6>0,$$
$$(t+3)(t-2)>0,$$
$$t<-3 \quad \text{или} \quad t>2.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_2(-x)<-3 \quad \text{или} \quad \log_2(-x)>2.$$
Так как основание логарифма больше 1, имеем
$$-x<2^{-3} \quad \text{или} \quad -x>2^2,$$
$$-x<\frac{1}{8} \quad \text{или} \quad -x>4,$$
$$x>-\frac{1}{8} \quad \text{или} \quad x<-4.$$
С учётом ОДЗ $$x<0$$ получаем
$$x\in(-\infty;\,-4)\cup\left(-\frac{1}{8};\,0\right).$$
Ответ: $$x\in(-\infty;\,-4)\cup\left(-\frac{1}{8};\,0\right).$$
