Упр.46.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{2x+1}(5+8x-4x^2)+\log_{5-2x}(1+4x+4x^2)=4$$;

б) $$\log_{3x+7}(9+12x+4x^2)=4-\log_{2x+3}(6x^2+23x+21)$$.

а) $$\log_{2x+1}(5+8x-4x^2)+\log_{5-2x}(1+4x+4x^2)=4.$$

Разложим выражения под логарифмами:

$$5+8x-4x^2=(5-2x)(2x+1), \qquad 1+4x+4x^2=(2x+1)^2.$$

Тогда

$$\log_{2x+1}\bigl((5-2x)(2x+1)\bigr)+\log_{5-2x}(2x+1)^2=4.$$

Используем свойства логарифмов:

$$\log_{2x+1}(5-2x)+1+2\log_{5-2x}(2x+1)=4.$$

Пусть $$y=\log_{5-2x}(2x+1).$$ Тогда

$$\log_{2x+1}(5-2x)=\frac{1}{y}.$$

Получаем уравнение

$$\frac{1}{y}+1+2y=4,$$

$$2y^2-3y+1=0,$$

$$\left(2y-1\right)\left(y-1\right)=0.$$

Отсюда

$$y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=1.$$

1) Если $$\log_{5-2x}(2x+1)=\frac12,$$ то

$$2x+1=\sqrt{5-2x}.$$

Возводим в квадрат:

$$4x^2+4x+1=5-2x,$$

$$2x^2+3x-2=0,$$

$$\left(2x-1\right)\left(x+2\right)=0.$$

Получаем $$x=\frac12$$ или $$x=-2.$$

По ОДЗ подходит только $$x=\frac12.$$

2) Если $$\log_{5-2x}(2x+1)=1,$$ то

$$2x+1=5-2x,$$

$$4x=4,$$

$$x=1.$$

Проверка ОДЗ: $$2x+1>0,$$ $$5-2x>0,$$ $$5-2x\ne1,$$ $$2x+1\ne1.$$ Значения $$x=\frac12$$ и $$x=1$$ удовлетворяют условиям.

Ответ: $$\frac12; \ 1.$$

б) $$\log_{3x+7}(9+12x+4x^2)=4-\log_{2x+3}(6x^2+23x+21).$$

Разложим выражения под логарифмами:

$$9+12x+4x^2=(2x+3)^2,$$

$$6x^2+23x+21=(2x+3)(3x+7).$$

Тогда

$$\log_{3x+7}(2x+3)^2=4-\log_{2x+3}\bigl((2x+3)(3x+7)\bigr).$$

Используем свойства логарифмов:

$$2\log_{3x+7}(2x+3)=4-\log_{2x+3}(2x+3)-\log_{2x+3}(3x+7).$$

Так как $$\log_{2x+3}(2x+3)=1,$$ получаем

$$2\log_{3x+7}(2x+3)=3-\log_{2x+3}(3x+7).$$

Пусть $$t=\log_{3x+7}(2x+3).$$ Тогда

$$\log_{2x+3}(3x+7)=\frac{1}{t}.$$

Следовательно,

$$2t=3-\frac{1}{t},$$

$$2t^2-3t+1=0,$$

$$\left(2t-1\right)\left(t-1\right)=0.$$

Отсюда

$$t=\frac12 \quad \text{или} \quad t=1.$$

1) Если $$\log_{3x+7}(2x+3)=\frac12,$$ то

$$2x+3=\sqrt{3x+7}.$$

Возводим в квадрат:

$$4x^2+12x+9=3x+7,$$

$$4x^2+9x+2=0,$$

$$\left(4x+1\right)\left(x+2\right)=0.$$

Получаем $$x=-\frac14$$ или $$x=-2.$$

По ОДЗ подходит только $$x=-\frac14.$$

2) Если $$\log_{3x+7}(2x+3)=1,$$ то

$$2x+3=3x+7,$$

$$x=-4,$$

но это значение не подходит по ОДЗ.

Ответ: $$-\frac14.$$