Упр.46.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_4(x+12)\cdot\log_x 2=1$$;
б) $$1+\log_x 5\cdot\log_7 x=\log_5 35\cdot\log_x 5$$.

а) Рассмотрим уравнение:

$$\log_4(x+12)\cdot \log_x 2=1.$$

Область допустимых значений:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad x+12>0.$$

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}.$$

Тогда

$$\log_4(x+12)\cdot \frac{1}{\log_2 x}=1,$$

откуда

$$\log_4(x+12)=\log_2 x.$$

Переходим к основанию $$4$$:

$$\log_2 x=\log_4 x^2,$$

значит

$$\log_4(x+12)=\log_4 x^2.$$

Следовательно,

$$x+12=x^2.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$x^2-x-12=0,$$

$$(x-4)(x+3)=0.$$

Отсюда

$$x=4 \quad \text{или} \quad x=-3.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.

б) Рассмотрим уравнение:

$$1+\log_x 5\cdot \log_7 x=\log_5 35\cdot \log_x 5.$$

Область допустимых значений:

$$x>0,\quad x\ne 1.$$

Преобразуем правую часть:

$$\log_5 35=\log_5(5\cdot 7)=1+\log_5 7.$$

Тогда уравнение можно записать так:

$$1+\log_x 5\cdot \log_7 x=(1+\log_5 7)\log_x 5.$$

Используем формулу

$$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x},\qquad \log_7 x=\frac{1}{\log_x 7}.$$

Удобнее заметить, что

$$\log_x 5\cdot \log_7 x=\frac{\log_7 x}{\log_5 x}.$$

После преобразований получаем:

$$\log_7 x=1.$$

Значит,

$$x=7.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$7$$.