Упр.46.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\log_3 x + 1 = 2\log_x 3$$;
б) $$2\log_x 5 — 3 = -\log_5 x$$;
в) $$\log_7 x — 1 = 6\log_x 7$$;
г) $$\log_2 x + 9\log_x 2 = 10$$.

а) $$\log_3 x+1=2\log_x 3.$$

По формуле перехода к новому основанию:

$$\log_x 3=\frac{1}{\log_3 x}.$$

Тогда

$$\log_3 x+1=\frac{2}{\log_3 x}.$$

Пусть $$t=\log_3 x,$$ тогда

$$t+1=\frac{2}{t},$$

$$t^2+t-2=0,$$

$$\left(t+2\right)\left(t-1\right)=0.$$

Отсюда $$t_1=-2,$$ $$t_2=1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9},$$

$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3.$$

б) $$2\log_x 5-3=-\log_5 x.$$

По формуле перехода к новому основанию:

$$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}.$$

Тогда

$$\frac{2}{\log_5 x}-3=-\log_5 x.$$

Пусть $$t=\log_5 x,$$ тогда

$$\frac{2}{t}-3=-t,$$

$$t^2-3t+2=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0.$$

Отсюда $$t_1=1,$$ $$t_2=2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5,$$

$$\log_5 x=2 \Rightarrow x=25.$$

в) $$\log_7 x-1=6\log_x 7.$$

По формуле перехода к новому основанию:

$$\log_x 7=\frac{1}{\log_7 x}.$$

Тогда

$$\log_7 x-1=\frac{6}{\log_7 x}.$$

Пусть $$t=\log_7 x,$$ тогда

$$t-1=\frac{6}{t},$$

$$t^2-t-6=0,$$

$$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0.$$

Отсюда $$t_1=3,$$ $$t_2=-2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_7 x=3 \Rightarrow x=7^3=343,$$

$$\log_7 x=-2 \Rightarrow x=7^{-2}=\frac{1}{49}.$$

г) $$\log_2 x+9\log_x 2=10.$$

По формуле перехода к новому основанию:

$$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}.$$

Тогда

$$\log_2 x+\frac{9}{\log_2 x}=10.$$

Пусть $$t=\log_2 x,$$ тогда

$$t+\frac{9}{t}=10,$$

$$t^2-10t+9=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t-9\right)=0.$$

Отсюда $$t_1=1,$$ $$t_2=9.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2,$$

$$\log_2 x=9 \Rightarrow x=2^9=512.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{9};\ 3$$; б) $$5;\ 25$$; в) $$\frac{1}{49};\ 343$$; г) $$2;\ 512$$.