Упр.46.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{\log_{2}56}{\log_{28}2}-\frac{\log_{2}7}{\log_{224}2}$$
2. $$\frac{\log_{3}135}{\log_{45}3}-\frac{\log_{3}5}{\log_{1215}3}$$

а) $$\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2}-\frac{\log_2 7}{\log_{224} 2}$$

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию:

$$\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2}=\log_2 56\cdot \log_2 28,\qquad \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2}=\log_2 7\cdot \log_2 224.$$

Тогда

$$\log_2 56\cdot \log_2 28-\log_2 7\cdot \log_2 224$$

$$=\log_2(7\cdot 8)\cdot \log_2(7\cdot 4)-\log_2 7\cdot \log_2(7\cdot 32)$$

$$=(\log_2 7+3)(\log_2 7+2)-\log_2 7\cdot(\log_2 7+5)$$

$$=\log_2^2 7+2\log_2 7+3\log_2 7+6-\log_2^2 7-5\log_2 7=6.$$

Ответ: 6.

б) $$\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3}-\frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3}$$

По формуле перехода к новому основанию:

$$\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3}=\log_3 135\cdot \log_3 45,\qquad \frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3}=\log_3 5\cdot \log_3 1215.$$

Тогда

$$\log_3 135\cdot \log_3 45-\log_3 5\cdot \log_3 1215$$

$$=\log_3(5\cdot 27)\cdot \log_3(5\cdot 9)-\log_3 5\cdot \log_3(5\cdot 243)$$

$$=(\log_3 5+3)(\log_3 5+2)-\log_3 5\cdot(\log_3 5+5)$$

$$=\log_3^2 5+2\log_3 5+3\log_3 5+6-\log_3^2 5-5\log_3 5=6.$$

Ответ: 6.