Упр.45.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_2^2 x>4\log_2 x-3$$; б) $$\log_{\frac{1}{2}}^2 x+3\log_{\frac{1}{2}}x<-2$$; в) $$\log_4^2 x+\log_4 x\leqslant2$$; г) $$\log_{0{,}2}^2 x\geqslant6-\log_{0{,}2}x$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно. Обозначим $$y=\log_a x$$, где основание логарифма соответствует данному пункту.

а)

$$\log_2^2 x>4\log_2 x-3$$

Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда

$$y^2-4y+3>0$$

$$\left(y-1\right)\left(y-3\right)>0$$

Отсюда

$$y<1 \quad \text{или} \quad y>3$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_2 x<1 \Rightarrow 0<x<2$$

$$\log_2 x>3 \Rightarrow x>8$$

Ответ: $$x\in(0;2)\cup(8;+\infty)$$.

б)

$$\log_{\frac12}^2 x+3\log_{\frac12} x<-2$$

Пусть $$y=\log_{\frac12} x$$. Тогда

$$y^2+3y+2<0$$

$$\left(y+1\right)\left(y+2\right)<0$$

Следовательно,

$$-2<y<-1$$

Возвращаемся к переменной $$x$$. Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства при переходе меняется:

$$-2<\log_{\frac12} x<-1$$

$$\left(\frac12\right)^{-2}>x>\left(\frac12\right)^{-1}$$

То есть

$$2<x<4$$

Ответ: $$x\in(2;4)$$.

в)

$$\log_4^2 x+\log_4 x\le 2$$

Пусть $$y=\log_4 x$$. Тогда

$$y^2+y-2\le 0$$

$$\left(y+2\right)\left(y-1\right)\le 0$$

Отсюда

$$-2\le y\le 1$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-2\le \log_4 x\le 1$$

$$4^{-2}\le x\le 4^1$$

$$\frac{1}{16}\le x\le 4$$

Ответ: $$x\in\left[\frac{1}{16};4\right]$$.

г)

$$\log_{0,2}^2 x\ge 6-\log_{0,2} x$$

Пусть $$y=\log_{0,2} x$$. Тогда

$$y^2+y-6\ge 0$$

$$\left(y+3\right)\left(y-2\right)\ge 0$$

Следовательно,

$$y\le -3 \quad \text{или} \quad y\ge 2$$

Возвращаемся к переменной $$x$$. Так как $$0,2<1$$, при переходе к основанию логарифма знак неравенства меняется:

$$\log_{0,2} x\le -3 \Rightarrow x\ge 0,2^{-3}=125$$

$$\log_{0,2} x\ge 2 \Rightarrow 0<x\le 0,2^2=0,04$$

Ответ: $$x\in(0;0,04]\cup[125;+\infty)$$.