Упр.45.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{8}(x^2-7x)>1$$; б) $$\log_{\frac{1}{2}}(x^2+0{,}5x)\leqslant 1$$; в) $$\log_{2}(x^2-6x+24)<4$$; г) $$\log_{\frac{1}{3}}\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)\geqslant 2$$.

а) $$\log_8(x^2-7x)>1$$

Так как основание $$8>1,$$ то

$$x^2-7x>8.$$

Получаем:

$$x^2-7x-8>0$$

$$(x+1)(x-8)>0.$$

Отсюда

$$x<-1 \text{ или } x>8.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-1)\cup(8;+\infty).$$

б) $$\log_{\frac12}(x^2+0{,}5x)\le 1$$

Так как основание $$0<\frac12<1,$$ знак неравенства меняется:

$$x^2+0{,}5x\ge \frac12.$$

Тогда

$$x^2+\frac12x-\frac12\ge 0$$

$$2x^2+x-1\ge 0$$

$$(2x-1)(x+1)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le -1 \text{ или } x\ge \frac12.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac12;+\infty\right).$$

в) $$\log_2(x^2-6x+24)<4$$

Так как основание $$2>1,$$ то

$$x^2-6x+24<16.$$

Получаем:

$$x^2-6x+8<0$$

$$(x-2)(x-4)<0.$$

Отсюда

$$2<x<4.$$

Проверим область определения: $$x^2-6x+24>0.$$

Дискриминант этого квадратного трёхчлена:

$$D=36-96=-60<0,$$

значит, выражение положительно при всех $$x\in\mathbb R.$$

Ответ: $$x\in(2;4).$$

г) $$\log_{\frac13}\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)\ge 2$$

Так как основание $$0<\frac13<1,$$ знак неравенства меняется:

$$-x^2+\frac{10x}{9}\le \left(\frac13\right)^2=\frac19.$$

Тогда

$$-x^2+\frac{10x}{9}-\frac19\le 0$$

$$9x^2-10x+1\ge 0$$

$$(9x-1)(x-1)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le \frac19 \text{ или } x\ge 1.$$

Теперь учтём область определения:

$$-x^2+\frac{10x}{9}>0$$

$$x\left(x-\frac{10}{9}\right)<0,$$

значит,

$$0<x<\frac{10}{9}.$$

Пересекаем полученные условия:

$$x\in\left(0;\frac19\right]\cup\left[1;\frac{10}{9}\right).$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac19\right]\cup\left[1;\frac{10}{9}\right).$$