Упр.45.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\log_{\frac{1}{2}}(6-x)\ge\log_{\frac{1}{2}}x^2$$;

б) $$\log_{0{,}3}(x^2+22)<\log_{0{,}3}13x$$;

в) $$\log_{\frac{1}{4}}(-x-6)\le\log_{\frac{1}{4}}(6-x^2)$$;

г) $$\log_{0{,}5}(x^2-27)>\log_{0{,}5}6x$$.

Подробный ответ

Рассмотрим каждое неравенство по теореме о логарифмических неравенствах.

$$\log_{\frac12}(6-x)\ge \log_{\frac12}x^2$$
Так как основание $$\frac12<1,$$ знак неравенства меняется:
$$6-x\le x^2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2+x-6\ge 0,$$
$$(x+3)(x-2)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$
Учитываем область определения:
$$6-x>0,\quad x^2>0,$$
то есть
$$x<6,\quad x\ne 0.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-3]\cup[2;6).$$
$$\log_{0,3}(x^2+22)<\log_{0,3}13x$$
Так как основание $$0,3<1,$$ знак неравенства меняется:
$$x^2+22>13x.$$
Получаем:
$$x^2-13x+22>0,$$
$$(x-2)(x-11)>0.$$
Отсюда
$$x<2 \quad \text{или} \quad x>11.$$
С учётом ОДЗ:
$$x^2+22>0,\quad 13x>0 \Rightarrow x>0.$$
Значит,
$$x\in(0;2)\cup(11;+\infty).$$
$$\log_{\frac14}(-x-6)\le \log_{\frac14}(6-x^2)$$
Так как основание $$\frac14<1,$$ знак неравенства меняется:
$$-x-6\ge 6-x^2.$$
Тогда
$$x^2-x-12\ge 0,$$
$$(x+3)(x-4)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$
ОДЗ:
$$-x-6>0,\quad 6-x^2>0,$$
то есть
$$x<-6,\quad -\sqrt6<x<\sqrt6.$$
Пересечение этих условий пусто, значит решений нет.
$$\log_{0,5}(x^2-27)>\log_{0,5}6x$$
Так как основание $$0,5<1,$$ знак неравенства меняется:
$$x^2-27<6x.$$
Получаем:
$$x^2-6x-27<0,$$
$$(x+3)(x-9)<0.$$
Отсюда
$$-3<x<9.$$
ОДЗ:
$$x^2-27>0,\quad 6x>0,$$
то есть
$$x<-3\sqrt3 \quad \text{или} \quad x>3\sqrt3,\quad x>0.$$
Следовательно,
$$x\in(3\sqrt3;9).$$