Упр.45.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_3(x^2+6)<\log_3(5x)$$;
   б) $$\log_{0,6}(6x-x^2)>\log_{0,6}(-8-x)$$;
   в) $$\lg(x^2-8)\leq\lg(2-9x)$$;
   г) $$\log_{\sqrt{2}}(x^2+10x)\geq\log_{\sqrt{2}}(x-14)$$.

а) Так как основание логарифма $$3>1,$$ то сравниваем подлогарифмические выражения:

$$x^2+6<5x.$$

$$x^2-5x+6<0,$$

$$\left(x-2\right)\left(x-3\right)<0.$$

Отсюда

$$2<x<3.$$

Область определения: $$x>0,$$ значит найденный промежуток подходит.

Ответ: $$x\in(2;3).$$

б) Так как $$0<0{,}6<1,$$ знак неравенства при переходе к подлогарифмическим выражениям меняется:

$$6x-x^2<-8-x.$$

$$x^2-7x-8>0,$$

$$\left(x+1\right)\left(x-8\right)>0.$$

Отсюда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>8.$$

Но область определения задаётся условиями

$$6x-x^2>0,$$

$$-8-x>0,$$

то есть

$$0<x<6 \quad \text{и} \quad x<-8.$$

Эти условия несовместны, значит решений нет.

Ответ: решений нет.

в) Основание логарифма $$10>1,$$ поэтому

$$x^2-8\le 2-9x.$$

$$x^2+9x-10\le 0,$$

$$\left(x+10\right)\left(x-1\right)\le 0.$$

Отсюда

$$-10\le x\le 1.$$

Область определения:

$$x^2-8>0,$$

$$x<-2\sqrt2 \quad \text{или} \quad x>2\sqrt2.$$

Пересечение с найденным промежутком даёт

$$x\in\left[-10;-2\sqrt2\right).$$

Ответ: $$x\in\left[-10;-2\sqrt2\right).$$

г) Так как основание $$\sqrt2>1,$$ имеем

$$x^2+10x\ge x-14.$$

$$x^2+9x+14\ge 0,$$

$$\left(x+7\right)\left(x+2\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le -7 \quad \text{или} \quad x\ge -2.$$

Область определения:

$$x^2+10x>0,$$

$$x-14>0,$$

то есть

$$x<-10 \quad \text{или} \quad x>0,$$

и одновременно $$x>14.$$

Следовательно,

$$x>14.$$

Ответ: $$x\in(14;+\infty).$$