Упр.45.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{2}(5x-9)\le\log_{2}(3x+1)$$

б) $$\log_{0,4}(12x+2)\ge\log_{0,4}(10x+16)$$

в) $$\log_{\frac{1}{3}}(-x)>\log_{\frac{1}{3}}(4-2x)$$

г) $$\log_{2,5}(6-x)<\log_{2,5}(4-3x)$$

а) Область определения:

$$5x-9>0,\quad 3x+1>0.$$

Так как основание логарифма $$2>1,$$ то логарифмическая функция возрастает, значит

$$5x-9\le 3x+1.$$

Решаем систему:

$$\begin{aligned} 5x-9&\le 3x+1,\\ 5x-9&>0,\\ 3x+1&>0. \end{aligned}$$

Получаем:

$$\begin{aligned} 2x&\le 10,\\ x&> \frac{9}{5},\\ x&>-\frac13. \end{aligned}$$

Следовательно, $$x\in\left(\frac95;5\right].$$

б) Область определения:

$$12x+2>0,\quad 10x+16>0.$$

Так как основание $$0{,}4<1,$$ то логарифмическая функция убывает, значит

$$12x+2\le 10x+16.$$

Решаем систему:

$$\begin{aligned} 12x+2&\le 10x+16,\\ 12x+2&>0,\\ 10x+16&>0. \end{aligned}$$

Получаем:

$$\begin{aligned} 2x&\le 14,\\ x&>-\frac16,\\ x&>-\frac85. \end{aligned}$$

Следовательно, $$x\in\left(-\frac16;7\right].$$

в) Область определения:

$$-x>0,\quad 4-2x>0.$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ то логарифмическая функция убывает, значит

$$-x>4-2x.$$

Решаем систему:

$$\begin{aligned} -x&>0,\\ 4-2x&>0,\\ -x&>4-2x. \end{aligned}$$

Получаем:

$$\begin{aligned} x&<0,\\ x&<2,\\ x&<4. \end{aligned}$$

Следовательно, $$x<0.$$

г) Область определения:

$$6-x>0,\quad 4-3x>0.$$

Так как основание $$2{,}5>1,$$ то логарифмическая функция возрастает, значит

$$6-x<4-3x.$$

Решаем систему:

$$\begin{aligned} 6-x&<4-3x,\\ 6-x&>0,\\ 4-3x&>0. \end{aligned}$$

Получаем:

$$\begin{aligned} 2x&<-2,\\ x&<6,\\ x&<\frac43. \end{aligned}$$

Следовательно, $$x<-1.$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac95;5\right]$$; б) $$x\in\left(-\frac16;7\right]$$; в) $$x<0$$; г) $$x<-1$$.