Упр.45.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_5 x > \log_5(3x-4);$$
   б) $$\log_{0,6}(2x-1) < \log_{0,6}x;$$ в) $$\log_{\frac{1}{3}}(5x-9) \geq \log_{\frac{1}{3}}4x;$$ г) $$\log_3(8-6x) \leq \log_3 2x.$$

а) Область допустимых значений:

$$x>0,\qquad 3x-4>0.$$

Так как основание логарифма $$5>1,$$ то знак неравенства сохраняется:

$$\log_5 x>\log_5(3x-4)\iff x>3x-4.$$

Решаем:

$$x>3x-4 \iff -2x>-4 \iff x<2.$$

С учётом ОДЗ:

$$x>\frac{4}{3},\qquad x<2.$$

Ответ: $$x\in\left(\frac{4}{3};\,2\right).$$

б) Область допустимых значений:

$$2x-1>0,\qquad x>0.$$

Так как основание логарифма $$0{,}6<1,$$ то знак неравенства меняется:

$$\log_{0{,}6}(2x-1)<\log_{0{,}6}x \iff 2x-1>x.$$

Решаем:

$$2x-1>x \iff x>1.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$x>1.$$

Ответ: $$x\in(1;\,+\infty).$$

в) Область допустимых значений:

$$5x-9>0,\qquad 4x>0.$$

Так как основание логарифма $$\frac13<1,$$ то знак неравенства меняется:

$$\log_{\frac13}(5x-9)\ge \log_{\frac13}(4x)\iff 5x-9\le 4x.$$

Решаем:

$$5x-9\le 4x \iff x\le 9.$$

С учётом ОДЗ:

$$x>\frac95,\qquad x\le 9.$$

Ответ: $$x\in\left(\frac95;\,9\right].$$

г) Область допустимых значений:

$$8-6x>0,\qquad 2x>0.$$

Так как основание логарифма $$3>1,$$ то знак неравенства сохраняется:

$$\log_3(8-6x)\le \log_3(2x)\iff 8-6x\le 2x.$$

Решаем:

$$8-6x\le 2x \iff 8\le 8x \iff x\ge 1.$$

С учётом ОДЗ:

$$x>0,\qquad x<\frac43,\qquad x\ge 1.$$

Ответ: $$x\in\left[1;\,\frac43\right).$$